La factura la expide, con carácter general, el empresario o profesional que realice la operación.
Si la venta del coche es entre particulares no hay factura, solo hay factura si quien te vendió el coche lo hace en el ejercicio de su actividad empresarial o profesional.
Si fuera este el caso, el destinatario de la operación, o sea tú, podría expedir factura si se dan las condiciones del art. 5.2 RD 1619/2012 de facturación, te pongo copia
a) Deberá existir un acuerdo entre el empresario o profesional que realice las operaciones y el destinatario de éstas, por el que el primero autorice al segundo la expedición de las facturas correspondientes a dichas operaciones. Este acuerdo deberá suscribirse con carácter previo a la realización de las operaciones y en él deberán especificarse aquéllas a las que se refiera.
b) Cada factura así expedida deberá ser objeto de un procedimiento de aceptación por parte del empresario o profesional que haya realizado la operación. Este procedimiento se ajustará a lo que determinen las partes.
c) El destinatario de las operaciones que proceda a la expedición de las facturas deberá remitir una copia al empresario o profesional que las realizó.
d) Estas facturas serán expedidas en nombre y por cuenta del empresario o profesional que haya realizado las operaciones que en ellas se documentan.
PS.En caso de que no sea posible conseguir factura, bien porque no se den las condiciones, bien porque no sea una operación sujeta a IVA, yo convencería a tu comprador con el justificante de la matriculación del vehículo a tu nombre