¿Qué es y cómo funciona el modelo de Markowitz? | Teoría de la cartera y frontera eficiente.

El Modelo de Markowitz y su frontera eficiente son términos que alguna vez hemos escuchado en nuestro paso por las facultades de economía. Sin embargo, pasado los años desconocemos a ciencia cierta cuáles son sus principales postulados y cuánto nos puede ayudar a diversificar nuestro riesgo a la hora de seleccionar los activos que incorporamos a nuestra cartera.

La profundidad de la teoría de selección de carteras y las posteriores evoluciones no caben en una publicación pero esta tiene vocación de un resumen básico para poder entender y utilizar esta herramienta a través de las preguntas claves planteadas.

Pero vamos por partes, antes de explicar que es y como se desarrolla, vayamos a definiciones más simples.

¿Qué es una cartera eficiente?

Una cartera eficiente es aquella que cumple dos condiciones:

• Para su nivel de rendimiento esperado, no existe ninguna otra cartera que tenga un riesgo más bajo. 
• Para el riesgo que conlleva, no existe otra oportunidad de inversión que permita obtener un rendimiento esperado mayor, es decir, proporciona la máxima rentabilidad esperada posible para su nivel de riesgo.

De esta forma, para lograrla estos son alguno consejos que como inversor podrías seguir:

1. Conocer tu perfil de inversor: Es decir, que riesgo como inversor se está dispuesto a aceptar: conservador, moderado, o agresivo

2. Definir unos objetivos realistas:  Se debe conocer cuál es la meta, o dicho de otro modo, que rentabilidad objetivo pretendo llegar a obtener, conociendo ya el nivel de riesgo que quiero acepar. Así pues, se debe poner énfasis en la expresión "objetivos realistas", ya que:

• Unos objetivos sobredimensionados, podrían llegar a desmotivar.
• Unos objetivos poco ambiciosos, podrían llevar a la relajación y a larga, arrastrar pérdidas por exceso de confianza.  

3. Balancear el riesgo: Ahora que ya conocemos nuestro nivel de riesgo, y los objetivo a conseguir, es hora de repartirlo en función de diferentes activos como acciones, ETFs, CFDs, fondos... 

4. Asesoramiento en fiscalidad: Después de haber pensado en un plan, una estrategia, y sobre todo, haber sufrido todo el riesgo al que hemos estado expuesto, llega el momento más traumático de todos, pasar por caja. Los impuestos. Para ello estar informado sobre como realizar la declaración de la renta para incluir los rendimientos del capital, o directamente acudir a experto es primordial, si no, cualquier multa de Hacienda, podría hacernos perder lo que tanto trabajo y riesgo nos ha costado ganar. 

5. Diversifica tu cartera en base al riesgo: Hasta ahora no hemo parado de hablar de inversión en bolsa, pero realmente existen otras muchas formas de inversión rentables y tal vez menos arriesgadas: Ingresos pasivos, sector inmobiliario... 

1. ¿Qué es el modelo de Markowitz? 

Y ahora que ya sabemos como debe estar configurada una cartera eficiente, es hora de entrar a valorar el modelo de Markowirz.

El modelo de Markowitz es un modelo matemático utilizado para analizar el rendimiento de las carteras de inversión y fue desarrollado por el economista Harry Markowitz durante la década de 1950.

De este modo, el Markowitz sirve para maximizar la rentabilidad minimizando el riesgo, para ello crea una cartera diversificada en varias clases de activos. Esta diversificación ayuda a reducir el riesgo global, al tiempo que permite obtener un alto rendimiento potencial.

Actualmente, este modelo tiene una enorme influencia en el campo de las finanzas, y sigue siendo utilizado por inversores y gestores de dinero de todo el mundo.

¿Quién es Harry Markowitz?

El economista Henry Markowitz nació en 1927 en Chicago, Illinois.

Perteneciente a la prestigiosa Escuela de Economía de Chicago se convirtió en uno de los más importantes analistas de inversiones a nivel mundial y en 1952 escribió un artículo “Portfolio Selection” basado en su tesis doctoral que marcaría su carrera y abriría un nuevo campo en el estudio de la composición óptima de una cartera de valores. 

En 1990 recibe el Premio Nobel de Economía junto con Miller y Sharpe por las aportaciones a la teoría de gestión de carteras. 

¿Cuáles son las hipótesis en que se basa el Modelo de Markowitz?

Hipótesis sobre el comportamiento y el método racional de elección del inversor 

• Todos los individuos se comportan racionalmente y por tanto son maximizadores de su función de utilidad esperada. 
• La función de utilidad esperada del inversor depende únicamente del rendimiento esperado, como medida de la rentabilidad y la varianza o desviación típica como medida del riesgo. 
• Las funciones de utilidad de los inversores son monótonas crecientes por lo que para cartera de valores con una misma varianza se prefiera la cartera de mayor rendimiento esperado. 
• Los inversores tienen aversión al riesgo, por lo que para cartera de valores con un mismo rendimiento esperado se prefiere la cartera con menor varianza. 
• Las curvas de indiferencia o isoutilidad con crecientes (a mayor riesgo mayor rentabilidad exigida) y convexas (a mayor riesgo aumenta en mayor medida la rentabilidad exigida) e indican las combinaciones rentabilidad-riesgo que proporcionan la misma utilidad al inversor. Las curvas situadas más hacia la izquierda y hacia arriba representan niveles de utilidad esperada superiores. 

Hipótesis sobre los activos y los mercados financieros

1. Se considera que los mercados financieros son perfectos: 

• Toda la información está igualmente disponible y de forma gratuita para todos los participantes en los mercados. 
• No existen costes de transacción en las operaciones de compraventa de los activos financieros 
• Los títulos son infinitamente divisibles. Es posible invertir en ellos cualquier proporción del presupuesto. 
• No hay inflación ni impuestos en la economía. 
• Los inversores son precio-aceptantes.  

     2. Todos los inversores tienen la misma amplitud en su horizonte de planificación, que es de un período. Al principio del período, adquieren una cartera de valores determinada que venden al final del período en cuestión.

    3. En los mercados financieros se negocian N activos financieros  arriesgados y sus combinaciones. No se contempla la existencia de una activo financiero libre de riesgo en el que poder invertir o con el que poder financiarse.
    4 .Los valores tienen liquidez inmediata al final del período de referencia.
    5. No se permiten ventas en descubiertos. 

¿Cómo se desarrolla el Modelo de Markowitz?

El modelo planteado por Markowitz pretenda determinar la cartera óptima, es decir, aquella que maximice la utilidad esperada por el inversor. 
Para ello determina un proceso de cuatro etapas que consistente en: 

1. Determinación del conjunto de posibilidades de inversión que ofrece el mercado (conjunto viable)

• Se analizan los N activos arriesgados y las carteras posibles que se negocian en los mercados, estimando su rentabilidad esperada, varianzas y covarianzas entre los rendimientos de cada par de posibles activos financieros.  
• Con dos títulos con correlación intermedia las combinaciones se sitúan sobre una hipérbola dibujada entre tales cotas, cuyo grado de curvatura es mayor cuanto menor es la correlación entre los rendimientos de los dos activos.  
• Con N activos financieros y correlación intermedia es una región que llamamos conjunto viable. 

2. Determinación de la frontera eficiente. 

Recordemos que una cartera eficiente es aquella que cumple dos condiciones. 

• Para su nivel de rendimiento esperado, no existe ninguna otra cartera que tenga un riesgo más bajo. 
• Para el riesgo que conlleva, no existe otra oportunidad de inversión que permita obtener un rendimiento esperado mayor, es decir, proporciona la máxima rentabilidad esperada posible para su nivel de riesgo.  

Así pues, la frontera eficiente es un concepto del Modelo de Markowitz que sugiere que existe un equilibrio óptimo entre riesgo y rendimiento al invertir. Este equilibrio se consigue diversificando las inversiones en diversas clases de activos y suele representarse en forma de gráfico, con la rentabilidad en el eje de las abscisas y el riesgo en el eje de las ordenadas. La curva de la frontera eficiente representa la cartera óptima para un determinado nivel de riesgo.

Por ejemplo, un inversor con aversión al riesgo elegiría una cartera más cercana al eje Y (Ep, bajo riesgo), mientras que un inversor que busque una alta rentabilidad elegiría una cartera más cercana al eje X (alta rentabilidad). De esta forma, la frontera eficiente son los diferentes puntos óptimos entre rentabilidad y riesgo y nos marcará en función del riesgo que estemos dispuestos a sumir, la rentabilidad que debemos exigir y viceversa.  

En cualquier otro caso se considera la cartera ineficiente. La cartera eficiente de menor riesgo es la cartera de mínima varianza (CMV) y la frontera eficiente empieza en la CMV. 

3. Especificación de las preferencias del inversor 

• Las curvas de indiferencia son crecientes y convexas. La forma específica dependerá del grado de aversión al riesgo del inversor. 
• Una curva de indiferencia o isoutilidad es la representación gráfica de todas las combinaciones rendimiento esperado-riesgo que proporcionan al inversor la misma utilidad esperada y que le son indiferentes.  

 
4.  Determinación de la cartera óptima 

• La cartera óptima se encuentra en el punto de tangencia entre la frontera eficiente y una curva de isoutilidad. La cartera O es la que proporciona mayor utilidad posible al situarse en la curva de indiferencia más elevada. 
• Es única para cada inversor, pues depende: 
  • De las estimaciones individuales sobre los títulos (frontera eficiente) 
  • Del grado de aversión al riesgo (curvas de indiferencia) 

4- ¿Cómo se desarrolla analíticamente el modelo?

El conjunto de carteras eficientes puede calcularse resolviendo el siguiente programa cuadrático paramétrico: 

• Xi: es la proporción del presupuesto del inversor destinado al activo financiero 
• i: incógnita del programa 
• σ^2 (Rp): varianza de la cartera p 
• ij: Covarianza entre los rendimientos de los valores i y j
• E(Rp): rentabilidad o rendimiento esperado de la cartera p 

 El conjunto de pares [E(Rp), σ^2 (Rp)] o combinaciones rentabilidad-riesgo de todas las carteras eficientes es denominado «frontera eficiente». Una vez conocida ésta, el inversor, de acuerdo con sus preferencias, elegirá su cartera óptima.

5- ¿Qué desventajas tiene el modelo de Markowitz?

• Complejidad matemática del modelo: inicialmente se planteó que el algoritmo de resolución era complejo y que el elevado número de estimaciones de rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas a calcular era muy elevado. Aunque vale destacar que hoy en día con el hardware y software adecuado se simplifica mucho la resolución del mismo.
• Hipótesis del modelo: el modelo de Markowitz no tiene en cuenta los costes de transacción ni los impuestos y además considera la perfecta divisibilidad de los títulos seleccionados. Estas desventajas pueden solucionarse introduciendo nuevas restricciones al modelo. 
• Evaluación del riesgo: el modelo no dispone de ninguna herramienta para que el inversor valore su actitud ante el riesgo y deduzca su función de utilidad lo cual es necesario para determinar su cartera óptima.
• Datos utilizados: Michaud (1989) considera que el uso de series de rentabilidades históricas, en la estimación de los parámetros esperados, produce sesgos importantes. Por ello los portafolios eficientes resultantes en el modelo se componen con activos de alta rentabilidad, reducida varianza y baja correlación con otros activos, de lo que resultan portafolios altamente concentrados en unos pocos títulos (baja diversificación y alto riesgo). Sin embargo, esta dificultad se puede solucionar introduciendo restricciones adicionales que limiten el porcentaje máximo de los recursos que van a ser invertidos en cada título.

El modelo de Markowitz se considera el punto de partida de la teoría moderna sobre selección de carteras y determinación de la frontera eficiente, su planteamiento y posteriores aportaciones y evoluciones resultan sin duda de los grandes avances de la teoría económica en el Siglo XX, sin embargo su utilización práctica por los gestores y analistas de inversión ha sido relativamente escasa en comparación con su relevancia teórica. 

Markowitz demuestra en sus estudios que la clave para diversificar una cartera no está simplemente en el número de acciones que la componen, sino en la correlación de las rentabilidades de las mismas. Si la correlación es elevada no se podrá diversificar, por el contrario si la correlación se podrá diversificar y el riesgo será mucho menor.

Fuente: Francisco Blanco Ramos, Máximo Ferrando Bolado, María Fuencisla Martínez Lobato. (2015). Teoría de la inversión. Madrid. Ediciones Pirámide.