Puedes abrir la cuenta sin problema, tan solo te pedirán el DNI, aunque alguna entidad tenga unas políticas más exigentes que otra, lo normal es solo el DNI.
Ahora bien, puedes decidirte por un banco de calle o por uno online. Es muy importante en tu caso que te asegures que la cuenta que vayas a abrir:
1 No te pida ingreso mínimo mensual ni determinadas compras con tarjetas.
2 Te vinculen la cuenta a una tarjeta de débito completamente gratis por emisión y renovación.
3 La cuenta disponga de transferencias gratuitas.
Y por último y muy importante que no tenga ningún gasto por mantenimiento y administración.
Tienes varios bancos que tienen cuentas de ese tipo:
ActivoBank que es del Sabadell
Cuenta On de Bankia
BBVA
Openbank (es del Grupo Santander) cosa que a mi no me gusta. Etc
Es verdad que te podrían pedir algún justificante de tu situación laboral, pero eso es por el tema del blanqueo de capitales, pero puede que te lo pidan o no.