¿Negarse a un nuevo contrato quita derecho a prestación por desempleo?

A una familiar le han ofrecido un nuevo contrato, menos horas solamente 4 horas pero en turno rotativo por lo que encontrar trabajo o compaginarlo con uno segundo le sería imposible, y aparte de eso con unas condiciones nefastas de salario (me ha dicho la cifra y da vergüenza) y condiciones/ambiente en la oficina

La cuestión es que le dicen que tiene que firmar la renuncia al anterior contrato y firmar el nuevo si acepta pero no quiere aceptar, pero le he dicho que ni se le ocurra firmar lo otro porque tampoco quería irse porque le ha dado la gana ahora.

Le he dicho que lo mejor es que diga que no acepta pero sin firmar, que si quiere que le echen, no encima de querer rebajar sus condiciones se va quedar sin derecho a nada despues de años en esa empresa.

Ya anteriormente firmó un nuevo contrato con peores condiciones, no hace ni 3 años, y ahora otra vez. Algunos no aceptaron pero entraron muchos jóvenes cobrando lo poco que cobra ahora, y ahora otra rebaja, es una vergüenza
Baja el paro? Pero a costa de que

Si me dice que es media jornada pero solo de mañana o tarde pero con los horarios le imposibilita compaginar con buscar algo más y el salario es vergonzoso, todo tiene un límite

Buenas, 

en un principio, en el momento en que se le acaba el contrato se tiene derecho a cobrar el paro y al tratarse de un contrato nuevo  y no de una mera renovación del contrato, lo más seguro es que pueda cobrarlo. 

Sin embargo, estas cosas son como todo, hay diversidad de opiniones. He encontrado otras en las cuales te dicen que si el certificado de empresa consta como una extinción a instancias del trabajador no tendrá derecho a la prestación por desempleo... Para cerciorarte de que rechazar ese nuevo contrato con menos horas no permita cobrar el paro una opción es llamar al INEM y consultarlo.