Depende de la tarjeta y de la vinculación.
La tarjeta de debito de Bankia, pasa a ser una tarjeta de debito de Caixabank, y a partir de un mes de 2022 (¿abril?) la empiezan a cobrar, sí.
La tarjeta de crédito verde de Bankia suele pasar a ser una MyCard de Caixabank. Muchas tarjetas de crédito de Caixabank, entre ellas la MyCard, son gratuitas cumpliendo las condiciones de Dia a Dia (P. ej. ingreso de nomina y 3 compras al trimestre con tarjeta). La MyCard la puedes configurar para descontar las compras cada 2 días y puedes usarla para sacar dinero a debito de la cuenta asociada. El funcionamiento es muy parecido como ves al de una tarjeta de debito.