Todas las variables que afectan a la sensibilidad del precio de los bonos a la variación de tipos se resumen en el concepto de duración. En el epígrafe anterior hemos visto que a igualdad de vencimiento, un bono con cupones menores es más sensible que otro con cupones más elevados. ¿Pero qué sucederá si tenemos un bono cupón cero a cuatro años y un bono con cupones elevados a cinco años? ¿Qué condicionará más su sensibilidad, el plazo hasta el vencimiento o los cupones intermedios? ¿Cuánto?
La duración es una medida que pretende aglutinar en una única cifra el conjunto de factores que determinan esa sensibilidad, combinando vencimiento, importe de los cupones y su periodicidad. De esta forma, obtendremos una medida de riesgo (sensibilidad) que caracterizará al bono en un momento dado, pero que además variará conforme pase el tiempo y su precio en el mercado.
Se trata de una especie de vencimiento medio de los flujos del bono (cupones y nominal) y se calcula de la siguiente forma:
Siendo:
- T: el tiempo que va a transcurrir desde el momento en que hacemos el cálculo hasta cada fecha de pago de los distintos flujos (cupones y nominal).
- i: el tipo de interés del mercado al plazo en que vamos a percibir el flujo. Utilizamos los tipos de interés para obtener el valor presente de cada flujo.
Gráficamente se podría visualizar de la siguiente forma:
Vamos a realizar los cálculos de la duración sobre los bonos del ejemplo b del epígrafe anterior, considerando un tipo de interés de mercado i = 4%.
Bono cupón 5%:
Obtenemos una duración de 4,55 años, lo cual es lógico ya que la mayor parte de los flujos (el último cupón y el nominal) los percibiremos a vencimiento (cinco años).
Si realizamos los mismos cálculos para el bono con cupón del 2%, obtenemos una duración de 4,79 años, superior a la anterior, ya que ahora, proporcionalmente, los flujos están todavía más alejados en el tiempo, ya que los cupones apenas son del 2%, frente al flujo del 102% que tendremos en el vencimiento.
¿Cuál será entonces la duración del bono cupón cero? Pues, en la medida en que solo tenemos un flujo y es a vencimiento, la duración debería coincidir con el vencimiento. Lo verificamos:
Obtenemos un vencimiento medio de los flujos del bono en cinco años, ya que solo hay un flujo y se sitúa en ese plazo.
Anteriormente hemos dicho que un bono será tanto más sensible cuanto mayor plazo hasta vencimiento tuviesen sus flujos y, además, que la duración es una medida de vencimiento medio. En el epígrafe 2.4 hemos visto que había una relación directa para bonos con un mismo vencimiento entre la variación de tipos y el cupón del bono. A mayor cupón, menor variación. En consecuencia, debería existir una relación directa entre la duración y la sensibilidad del precio del bono a variaciones de tipos de interés.
Vamos a comprobar si es cierto:
La subida de tipos de interés del 2 al 4% provocó las siguientes caídas en los precios de los bonos:
• Cupón 5% = -8,49%
• Cupón 2% = -8,90%
• Cupón cero = -9,25%
Y hemos calculado las duraciones para estos bonos:
• Cupón 5% = 4,55 años
• Cupón 2% = 4,79 años
• Cupón cero = 5 años
Efectivamente, los resultados son los que esperábamos. La variación del precio del bono está relacionada con la duración. A mayor duración, mayor variación en el precio ante un mismo movimiento de tipos de interés.
La duración se expresa en años o cualquier otra medida de tiempo (meses, días, ...) y es un concepto muy útil a la hora de comparar. Además, es una medida que proporciona la sensibilidad del bono ante pequeños movimientos en los tipos de interés. Es decir, si un bono tiene una duración de 4,5 años, una subida de +0,10 por ciento en los tipos de interés provocará una bajada aproximada del -0,45 por ciento en el precio del bono.
La duración es una medida de riesgo aplicable a bonos a tipo fijo. Los precios de los bonos a tipo flotante no tienen sensibilidad a la variación de tipos de interés de mercado, ya que sus cupones se van “adaptando” a la evolución de los propios tipos. Por ello, el concepto duración no se les aplica. Técnicamente, la duración de los bonos con tipo de interés flotante es igual al plazo hasta el vencimiento del siguiente cupón (el que ya está fijado).
Ejemplo: bono al que le queda cuatro años y dos meses hasta su vencimiento y que paga cupones flotantes semestrales (Libor 6 meses más 0,5%). El próximo cupón lo recibiremos dentro de dos meses (cuando le queden cuatro años para vencer al bono). La duración de este bono será de dos meses, es decir 0,16 años.
El bono, por tanto, tendrá una pequeña sensibilidad a la evolución de los tipos de interés, ya que si hoy suben los tipos, durante dos meses esa subida de tipos no va a repercutir en un incremento de los cupones del bono en la medida en que el cupón vigente está fijado y le quedan dos meses para renovarse. Pero a los dos meses, el nuevo cupón ya reflejará esa alza de tipos.
¿Cuál es la duración de los bonos con vencimiento perpetuo como las participaciones preferentes? Es igual a (1+i)/i, siendo i el tipo de interés de mercado.
Ejemplo: tenemos en cartera unas participaciones preferentes con cupones fijos que cotizan a una TIR a perpetuidad del 5%. Su duración será igual a (1+5%)/5% = 21 años
Lógicamente, los bonos perpetuos tenderán a tener duraciones elevadas, pero podemos apreciar claramente la diferencia que existe entre duración y vencimiento, ya que los bonos perpetuos tienen un vencimiento infinito y, sin embargo, su duración es finita (21 años en nuestro ejemplo).
La duración nos servirá para saber aproximadamente cuánto va a cambiar el precio de nuestro bono cuando varía su rentabilidad. Esta aproximación será tanto más exacta cuanto menor sea la variación de la rentabilidad. Cuando los cambios en la TIR son altos, la utilización de la duración para predecir los cambios en los precios es menos exacta.
Utilizamos de nuevo un ejemplo para clarificar la explicación. Supongamos que mantenemos en cartera el bono con cupón 5% vencimiento a cinco años, al que hemos calculado la duración anteriormente (4,55 años). ¿Cuánto bajará el precio del bono si su rentabilidad en el mercado pasa del 2 al 4% si lo calculamos a partir de su duración?
Dónde:
• ∆P es la variación del precio del bono en porcentaje sobre el nominal siendo P su precio
• ∆i es la variación de los tipos de interés de mercado siendo i el tipo de interés antes de producirse esa variación
• D es la duración del bono
Recordamos que habíamos calculado por descuento de flujos el precio del bono con los tipos al 2% (114,14%). Al elevarse los tipos de interés un 2% y ser la duración de 4,55 años, la caída del precio estimada a través de la duración sería aproximadamente del -10,18% del nominal (114,14% - 10,18% = 103,96%). Es decir, a partir del término duración estimamos que el bono va a bajar de precio un 10,18% hasta 103,96% si la TIR sube del 2 al 4%.
Ahora bien, nosotros habíamos calculado antes por descuento de flujos que su precio con una TIR al 4% es del 104,45%. El precio bajaría realmente “solo” un 9,69%. Por tanto, podemos concluir que a partir de la variable duración sobreestimamos la bajada del precio del bono pero, sin embargo, es una medida que nos permite hacer un cálculo directo y rápido del efecto aproximado que tendrá en el precio de nuestro bono un determinado cambio en los tipos de interés.
En el caso de bajadas de tipos, la duración minusvalorará la subida real que se produciría en el precio del bono. Lo comprobamos sobre el mismo ejemplo suponiendo que los tipos de mercado están el 4% y bajan al 2%:
En este caso, obtenemos un resultado de incremento del 9,13% del nominal. Sin embargo, la subida real según los cálculos que hicimos de valor presente era de 104,45% hasta 114,14%, es decir, un +9,69%.
La utilización del concepto duración como herramienta simple de análisis del riesgo de variación de precios de los bonos por parte de los inversores es una aproximación y, además, siempre le favorece, ya que el precio de un bono baja menos de lo que el cálculo por duración determina cuando suben los tipos de interés y sube más cuando bajan los tipos.
Hay que tener en cuenta, por último, que la duración también va variando con el tiempo, ya que cada día que transcurre el bono que tenemos en cartera tiene un vencimiento algo más corto que el día anterior (un día menos). En general, el transcurso del tiempo reduce la duración de un bono de forma suave y continua (tendiendo a cero en el momento de su vencimiento), lo que provoca que su precio sea menos sensible a la variación de tipos de interés.
Hay una excepción que se produce en los días posteriores al pago de cupón. Hemos comentado anteriormente que la duración es una medida del vencimiento medio de los flujos futuros. Si hoy tenemos un bono que paga cupón mañana (además del resto de cupones futuros más el nominal), ese flujo es futuro y muy cercano. Sin embargo, si medimos la duración del bono el día siguiente de haber abonado cupón, ese flujo ya es pasado y, por tanto, no habrá un cupón inmediato que forme parte del cálculo de ese vencimiento medio. Por tanto, en las fechas de corte de cupón se producen “saltos” al alza en el valor de la duración del bono, si bien su tendencia es, como hemos visto, ir bajando conforme transcurre el tiempo y se acerca el vencimiento.
La duración es una variable aditiva, por lo que un inversor que mantenga varios bonos en cartera puede calcular la duración de su cartera y, en consecuencia, estimar su sensibilidad a la variación de tipos, calculando la media ponderada en función de los valores de mercado de cada título de la cartera.
