Hemos venido destacando una y otra vez en el blog que a nuestro Homer Simpson interior no se le dan muy bien las matemáticas. Sobre todo cuando los problemas tienen una parte aleatoria (implican la necesidad de calcular probabilidades). Si encima tienen soluciones contraintuitivas... ni te cuento. Uno de los ejemplos que utilizábamos para demostrarlo:
Imagina que lanzo dos monedas no sesgadas y te aseguro que “al menos una ha salido cara”. ¿Cuál es la probabilidad a priori de que el resultado hayan sido dos caras?
La respuesta más habitual es el 50%. Pero no. Al asegurar que uno de los dos lanzamientos ha salido cara eliminamos la oportunidad del resultado cruz-cruz. Queda por tanto cara-cara y cara-cruz por lo que, a priori, la probabilidad es de 1/3. Si hubiera dicho que el primer lanzamiento fue cara, entonces las probabilidades de una segunda cara sí serían del 50%.
Este caso es muy parecido al problema de Monty Hall, que tan mal resultado me dio explicar en un Bolsalia, donde me llegaron a decir que “eso sería mi opinión” (imagina lo mal que lo debí contar). Como soy un valiente, lo voy a intentar explicar otra vez. Eso sí, que no te importe tanto entenderlo bien como comprender que las matemáticas son muchas veces contraintuitivas y que necesitamos a Spock para resolverlas.
El problema de Monty Hall, llamado así por el presentador del concurso estadounidense Let´s Make a Deal, se planteó por primera vez por Craig F. Whitaker en la columna de Marilyn vos Savant de la revista Parade Magazine en 1990. Voy a tratar de enfocar este problema de probabilidad tremendamente poco intuitivo como lo hacen en la genial película Blackjack 21, utilizando el ejemplo de un presentador de un concurso:
Pero oye, que si te gusta más Numbers, también lo explican de forma parecida:
Estás concursando en un famoso programa de televisión, tipo el Un, dos, tres. Lo presenta el gran Carlos Sobera. Has llegado a la prueba final en la que podría ganar ¡un fantástico coche! Aparece el escenario para la prueba, son tres puertas. Detrás de una de ellas está el flamante coche, detrás de las otras dos hay cabras.
Carlos, que sabe qué hay detrás de cada puerta, te pregunta -¿Qué puerta eliges? - El público grita -¡la dos!, ¡la una!, ¡la tres!, mientras tú miras sudoroso buscando a tu familia, medio cegado por los focos. No los ves. –La uno –dices, sin pensarlo demasiado. Entonces, Carlos, haciendo un gesto con su dedo índice para callar al público, abre la puerta número tres y detrás de ella hay una cabra. Después, arqueando una ceja, te pregunta -¿seguro que no prefieres escoger la dos? Si quieres, puedes cambiar.
¿Es mejor cambiar de puerta?
Homer nos dice que, con lo que sabemos de probabilidad, como quedan dos puertas por abrir y detrás de una está el coche, existen un 50% de probabilidades de escoger la puerta correcta. Así que Carlos lo que parece que intenta hacer es confundirnos, utilizar la psicología para que cambiemos de puerta, cuando en realidad no cambia nada si variamos nuestra elecciones.
Pero Homer, como es habitual en estos casos, se equivoca.
Vayamos ahora despacio. Cuando comienza la prueba y escoges la puerta uno, tienes una posibilidad entre tres (33,3% de probabilidad) de haber escogido la puerta correcta. Cuando Sobera abre la puerta tres y muestra la cabra, tu probabilidad no ha cambiado, sigue siendo del 33,3%, lo que pasa es que Carlos ha aportado más información sobre lo que hay detrás de cada puerta. ¡Y al ofrecerte la probabilidad de elegir una nueva puerta, te están ayudando a mejorar tu oportunidad de acertar donde está el coche! Al comenzar, tu probabilidad era de una entre tres, como hemos dicho. Si ahora cambias de puerta la posibilidad de que aciertes pasa a ser ahora de dos entre tres, porque ya sabes que el coche no estará en una de las tres puertas. Cambiando de puerta, doblas tus posibilidades de acertar dónde está el coche (pasan de 33,3% a 66,6%).
Imagina que no cambias de puerta. Hay tres puertas, así que tu probabilidad de acertar dónde está el coche es del 33,3% como hemos visto. La probabilidad de que escojas una cabra es de dos entre tres, es decir, del 66,6% por ciento. Si no cambias de puerta, da igual la que abra Carlos Sobera, seguirás con tu primera elección y tu probabilidad no cambiará, la probabilidad de que ya hayas elegido una cabra es de un tercio, pase lo que pase después, y lo sigue siendo abra o no una puerta Carlos. Si tuviste la suerte de elegir la puerta donde está el coche pero la mala suerte de cambiar y coger la puerta de la cabra, si cambias te tocará una cabra el 33,3% de las veces. Pero si hubieras escogido una cabra de primeras, entonces sólo habrá una puerta con otra cabra que pueda abrir el presentador. Si cambias de puerta, tendrás por tanto 33,3% de que te toque una cabra, si habías elegido primera el coche y cambias, y un 66,6% de que te toque el coche, si había elegido la cabra primero.
Aunque Homer piense que como sólo quedan dos puertas, la probabilidad de que una de ellas contenga el coche es del 50%, esto no es así porque Carlos Sobera abre la puerta tres después de tu elección de la puerta una. Sobera sabe dónde está el coche, así que nunca abrirá la puerta que conduce a él. Si hubiera abierto una puerta al azar y hubiera aparecido una cabra, entonces sí que habría un 50% de probabilidades de que entre las dos puertas que quedan una contuviera el impresionante coche nuevo. Pero la elección del jugador importa en la puerta que después abre el presentador, por lo que la acción de Sobera no es un suceso aleatorio que no está conectado con lo anterior, sino ¡una pista!
El cambio de variable, que ha cambiado todo, se ha disfrazado de psicología, pero sólo son matemáticas. Y si Spock está avispado, debería agradecer a Carlos Sobera ese 33,3% que le acaban de regalar.
Está claro que no había ningún Spock avispado en aquel Bolsalia, ni siquiera el del presentador. Pero como podéis ver esto no es opinable: son matemáticas. Las que tan mal se le dan a Homer.
Y si aún te quedan dudas, estoy seguro de que tras ver este último vídeo, quedarán disipadas.
Tomás García-Purriños, CAIA
@tomasgarcia_p
