Generalmente el conocimiento sobre los fractales es poco, y el poco que hay suele limitarse a leves nociones. Se piensa habitualmente que un fractal es un conjunto en el que se repiten cosas iguales o casi iguales a diversos tamaños, como por ejemplo una coliflor, en la que toda ella desprovista...
Generalmente el conocimiento sobre los fractales es poco, y el poco que hay suele limitarse a leves nociones. Se piensa habitualmente que un fractal es un conjunto en el que se repiten cosas iguales o casi iguales a diversos tamaños, como por ejemplo una coliflor, en la que toda ella desprovista de sus hojas es semejante a cualquiera de sus trozos, y cada trozo a trozos más pequeños. Las cotizaciones son fractales (más que eso: son multifractales) y de ello se deriva poder encontrar lugares concretos donde el precio irá a parar produciendo un máximo o un mínimo relativo con cierta importante probabilidad; así mismo, se puede calcular timing para hallar lugares muy probables de máximos y mínimos muy importantes. Por ello, por el desconocimiento general de qué es la multifractalidad en las cotizaciones, cómo se va formando la cotización multifractalmente y consecuentemente cómo averiguar precios y tiempos futuros a los que una cotización va a tender a ir marcando máximos o mínimos relativos es por lo que me he decidido a crear este blog en Rankia.
La semejanza en un fractal es lo importante y es quizá su seña de identidad. Benoît Mandelbrot fue el “padre” de los fractales y en su momento creó una definición para ellos:
“Un fractal es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica”.
A nuestros efectos, esta definición es correcta para las cotizaciones, aunque el propio Mandelbrot encontró fractales que tenían la misma dimensión topológica y de Hausdorff-Besicovitch.
Esta definición nada tiene que ver con cosas que se repitan dentro de un conjunto. Ya son conceptos matemáticos sobre dimensiones que a la mayoría de la gente le pueden romper sus esquemas. La dimensión topológica de un punto es 0, la de todo tipo de líneas y curvas es 1, la de todo tipo de superficies es 2 y la de todo tipo de volúmenes es 3. Existen entidades matemáticas con más dimensiones topológicas, pero siempre toman valores de números enteros. Incluso la dimensión topológica del conjunto vacío es -1.
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch es un poco larga de explicar y algo complicada para entender por mucha gente, pero en los fractales forma parte de las llamadas dimensiones fraccionarias (hay unos cuantos más tipos de dimensiones como la del conteo por cajas). Una dimensión fraccionaria significa que su valor ya no entra dentro de los números enteros, sino que lo hace dentro de los números reales positivos con el cero. Hoy en día se llama simplemente dimensión fractal a cualquier dimensión de las que son mayores que la topológica en los fractales.
¿Y qué significa que una dimensión fractal sea mayor que la dimensión topológica? Supongamos una línea (una curva) cuya dimensión topológica es 1. La siguiente dimensión topológica es 2, que es la de las superficies. Pues una dimensión fractal de 1,1, por ejemplo, significa que esa curva es un poco más que curva y comienza a querer aparentar ser un poco algo de superficie. Como las cotizaciones se dibujan en un plano (tiempo, precio) en vez de superficie emplearé la palabra plano. Así, una curva en plano con una dimensión fractal de 1,9 rellena casi el plano. Hay curvas de dimensión fractal 2 que rellenan completamente el plano.
La semejanza en un fractal se llama autosemejanza. Todos, absolutamente todos los fractales, tengan trozos de ellos mismos exactamente iguales a otros más pequeños en ellos mismos o no, tienen una autosemejanza estadística basada en una ley potencial. Esa autosemejanza estadística se llama autoafinidad y todas las cotizaciones la tienen por ser fractales. Algunos fractales tienen, además, el otro tipo de autosemejanza llamada autosimilitud. La autosimilitud la poseen los fractales en los que todo o parte del fractal es igual a otros trozos del fractal a tamaños más pequeños de sí mismo, y esos otros trozos lo son a otros más pequeños, y así sucesivamente. Gráficamente en los fractales con autosimilitud veremos siempre cosas exactamente iguales lo miremos en el escalado en el que lo veamos. En las cotizaciones el escalado nos permite verlas tick a tick, en grupos de ticks, de minuto en minuto, en grupos de minutos, sesión a sesión, en grupos de sesiones, de semana en semana, en grupos de semanas, mensualmente, en grupos de meses, de año en año y de grupos de años, y ningún trozo es exactamente igual (cambiando el escalado) a la cotización o a otros trozos menores.
La autoafinidad en las cotizaciones no es única (no son monofractales), es decir, que no es una constante, sino que varía tick a tick. Se mide con el índice de autoafinidad, que coincide con el exponente de Hurst en los fractales monofractales. Las cotizaciones son multifractales y el índice de autoafinidad (que es lo mismo que el exponente de Hurst) en vez de ser una constante es una función, concretamente la función de Hölder. Ya en otros posts explicaré cómo no sirve para nada detectar una memoria larga o una memoria corta para crear sistemas tendenciales o antitendenciales basándose en la dimensión fractal de una cotización. El índice de autoafinidad, el exponente de Hurst y el de Hölder toman valores entre 0 y 1. Y la dimensión fractal en un tick es 2 menos el exponente de Hölder para ese tick. Así que constantemente cambia la dimensión fractal de una cotización, variando entre 1 y 2. Aunque se halle por ejemplo que la cotización X tiene una dimensión fractal de 1,3, tal consideración tan solo informa que en el periodo estudiado ha predominado más la persistencia que la antipersistencia, consecuentemente habrían funcionado mejor en ese periodo sistemas tendenciales que antitendenciales.
Se ha repetido hasta la saciedad que las cotizaciones solo son autoafines (multiautoafines) y que no son autosimilares. Como eso no es cierto, como descubrí, (y lo iré explicando poco a poco) de la autosimilitud que existe en las cotizaciones se pueden deducir dónde habrá máximos y mínimos, y también se puede deducir timing en ellas con bastante probabilidad de acierto.
Sé que lo que digo es revolucionario y desmonta muchas afirmaciones sobre las cotizaciones que se han hecho constantemente postulando la impredecibilidad de sus futuros y que son paseos aleatorios. Pero poco a poco ya llegaremos a lo que llamo trading fractal (en realidad trading multifractal) que es un trading cuantitativo múltiple y muy distinto a lo que se haya podido ver o estudiar en cualquier sitio.
Dos son los motivos por los que hasta ahora nadie ha investigado fractalmente las cotizaciones adecuadamente, indagando sus muy probables futuros:
Uno fue el propio Mandelbrot, que creó un modo iterativo de crear ficticias cotizaciones que parecían realistas, yendo de lo mayor a lo menor. Tomaba un punto inicial ficticio pasado y un punto final ficticio pasado (porque en la ficción todo es pasado imaginario entre dos puntos ya decididos). Después rellenaba por procesos iterativos, en los que intervenía el azar, el camino entre los dos puntos. A ese modo de rellenar el camino les llamó cartones. El resultado de un cartón era un fractal monofractal parecido a una cotización. Como ya había descubierto que las cotizaciones reales son multifractales tuvo que inventar una multifractalidad para el tiempo e imbricarla en cada cartón monofractal. Así, ya los cartones eran multifractales.
El otro es el teorema del collage, que afirma que de un fractal se puede encontrar un Sistema Iterado de Funciones que lo reconstruya o que lo aproxime tanto como requiramos. Esto es la base de la compresión fractal de imágenes, empleado en el estándar JPEG 2000, por ejemplo. De toda una imagen o de fracciones de una imagen se consiguen el o los Sistemas Iterados de Funciones que reconstruyan la imagen o cada fracción de imagen, o por lo menos que se aproximen mucho a lo que era la imagen.
Ambos (cartones y Sistemas Iterados de Funciones) emplean iteraciones que van de lo más grande hacia lo más pequeño creando sucesivamente más detalles. O sea, que las funciones o los cartones son contracciones, es decir, que de un algo se multiplica ese algo por un número menor a 1 y mayor que 0 para obtener otro algo más pequeño que va rellenando el algo mayor. Así sucesivamente.
Afirmo que hay autosimilitud en las cotizaciones y esta autosimilitud nace de procesos expansivos o de dilatación, que son los inversos a los contractivos. Si de 4 obtenemos 2 al multiplicar por 0,5, de 2 obtenemos 4 al multiplicar por el inverso de 0,5 (que es 2). Así que una contracción y una dilatación es lo mismo matemáticamente según se mire en un sentido u en otro. Ambas son un producto de un algo por un número. Si el número es menor que 1 y mayor que 0 se tiene una contracción. Si el número es mayor que 1 se tiene una dilatación. Toda dilatación de un origen tiene un resultado y desde ese resultado hay una contracción que da el origen. En ambos casos se multiplica por números que son inversos el uno del otro.
A nadie se le ha ocurrido que existan en las cotizaciones procesos de dilatación conforme esta se va construyendo y que estos procesos de dilatación sean autosimilares. Una vez la cotización ya se ha construido siempre se cumplirá el teorema del collage para reconstruir su pasado o parte de él mediante un Sistema de Funciones Iteradas que emplean contracciones.
Toda cotización en su integridad es un fractal. Recordemos que un fractal es un conjunto con una dimensión que llamamos dimensión fractal mayor que su dimensión topológica. Pero de un conjunto podemos tener subconjuntos, de modo que un trozo de cotización también es fractal. Cabe preguntarse: ¿Cuándo un trozo de cotización deja de ser un fractal? Es como la pregunta que reza: ¿Cuándo un montón de arena deja de ser un montón si le vamos quitando puñados de arena? Pues no se sabe cuándo, pero lo que sí es cierto que el indicador Fractal de Williams no es un fractal ni se le parece, ni tiene nada que ver con los fractales. Williams empleó la palabra fractal por lo dicho en las primeras líneas de este escrito, demostrando su ignorancia sobre los fractales. Sin embargo, cinco sesiones (según el indicador de Williams tomando el escalado de sesión en sesión) pueden ser un fractal si lo escalamos de 5 en 5 minutos o de 1 en 1, incluso mejor si lo escalamos a ticks.
Pongo un ejemplo de cálculo de precios y timing en nuestro IBEX 35 contado, en gráfico de 10 en 10 minutos (tomado a las 12 h y 40 minutos del 30-9-24) y de cálculo de timing en el Dow Jones Industrial contado en gráfico de minuto en minuto (tomado a al cierre del 27-9-24).
(Los gráficos puestos aquí tienen mucha más resolución que la observable. Pinche en un gráfico y se ampliará. Después haga clic con el botón derecho en la ampliación y pida abrir en pestaña nueva. En la nueva pestaña que se abra tendrá el gráfico con mucha más resolución y la posibilidad de aumentarlo con la herramienta lupa que le aparecerá).
