Una cotización es simplemente una sucesión de ticks. Un tick se produce cuando la demanda iguala el precio de la oferta o esta iguala el de la demanda. Una orden a mercado hace tal cosa de inmediato y produce un tick bien por sí sola o porque se iguale a otras órdenes a mercado o de precio limitado (entre otras).
Un tick es un par (tiempo, precio) que podemos representar en un gráfico donde generalmente el eje horizontal es el tiempo y el vertical el precio. Así que en ese plano (Tiempo x Precio) un tick es un punto. El siguiente tick, los anteriores y los sucesivos siempre son puntos en el plano. La dimensión topológica de puntos es 0 y sin embargo las cotizaciones las tomamos como curvas con una dimensión topológica de 1. El truco para conseguirlo es unir un tick con su siguiente con una línea (no necesariamente tiene por qué ser una recta, pero así se hace). Una vez unidos todos los ticks se tiene una línea quebrada, que cae topológicamente dentro de lo que son curvas en el plano. Así que ya tenemos a cualquier cotización con una dimensión topológica de 1.
Cuando Einstein estudió el movimiento (o ruido) browniano (en 1905, aunque con mucha menos fama fue estudiado antes de él por Thorvald N. Thiele en 1880) se demostró que el movimiento browniano tiene un coeficiente de afinidad de 1/2. Robert Brown (en 1827) descubrió en el microscopio al estudiar partículas en el polen que estas partículas se movían, sin saber explicar los motivos, y por eso se llama movimiento browniano. Después se vio que también ciertos ruidos tienen el mismo comportamiento que tal movimiento. El coeficiente de afinidad de 1/2 significa que la distancia que recorre una partícula browniana es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. Una raíz cuadrada es elevar a 1/2, y ese 1/2 que es el índice de afinidad es una potencia, de ahí que se hable de ley potencial.
Durante mucho tiempo, por lo menos desde la tesis doctoral: “La teoría de la especulación” de Bachelier de 1900, que se cree que las cotizaciones son paseos aleatorios (y no es totalmente cierto como iremos viendo en este blog) y hasta Mandelbrot se pensaba que obedecían a un movimiento browniano, con una distribución normal (la típica campana de Gauss). Veremos que un movimiento browniano no tiene ningún tipo de memoria, ni es el que determina cómo se mueve el precio en las cotizaciones. Las cotizaciones tienen unas distribuciones de rendimientos que para nada son normales, en ellas hay colas pesadas, o sea, que no es infrecuente que existan grandes desplazamientos del precio en una sesión, hora, minuto, tick, cosa que en una distribución normal sería totalmente infrecuente. De hecho, las cotizaciones tienen varianza infinita (ya explicaré en algún momento qué significa eso) y por tanto pueden existir retornos (incrementos o decrementos en la cotización bien expresados logarítmicamente, bien en porcentaje) que se alejan mucho de la media, de la primera desviación estándar, de la segunda desviación estándar y otras, y tales rendimientos se dan mucho más de lo que debieran dar en una distribución catalogada como normal. Cabe, incluso, la posibilidad de tener un rendimiento infinito o que lleve una cotización a cero.
Se dice que en un proceso se cumple la propiedad de Márkov cuando el siguiente suceso depende única y exclusivamente del suceso actual. En los procesos de Márkov no hay memoria. De las cotizaciones se dice que la mejor predicción del precio futuro es el actual y es que en las cotizaciones se da generalmente la propiedad de Márkov de tick en tick. Desde el precio actual tan solo se puede ir a precios hacia arriba o hacia abajo dentro del rango estático y del rango dinámico del valor, saltando de céntimo en céntimo o de los intervalos que tenga preestablecidos en precio para poder cotizar. Por ejemplo, un valor que cotiza a 3,02 no puede saltar a cotizar en el siguiente tick a 8,15, porque incumple su rango estático y dinámico. Se paraliza la cotización y se abre una subasta de volatilidad. Tras la reapertura no se habrá cumplido seguramente la propiedad. Ocurre lo mismo con la subasta de apertura y con la de cierre, que pueden incumplir la propiedad de Márkov. En los procesos de Márkov puros de nada sirve el histórico del proceso, tan solo el suceso actual y por ello se dice que en los procesos de Márkov no hay memoria.
En las cotizaciones sí que hay memoria (muchas memorias) como veremos a continuación y en consecuencia no se puede hablar radicalmente de que al cumplir en parte la propiedad de Márkov quedan desprovistas de memoria. Cumplir totalmente la propiedad de Márkov es una característica de los paseos aleatorios. Así que hay que poner seriamente en duda que las cotizaciones sean procesos aleatorios, porque de alguna manera (por ser fractales) tienen tendencia a dirigirse lugares concretos, y lo iré explicando.
Mandelbrot vio bien claramente que no todos los ruidos, como les ocurre a las cotizaciones, obedecen al movimiento browniano, ese que tiene un coeficiente o índice de afinidad de 1/2. Él describió el ruido Browniano Fraccionario. En este ruido Browniano Fraccionario el coeficiente de afinidad toma cualquier valor entre 0 y 1. Un proceso con tal ruido tiene un coeficiente de afinidad distinto a 1/2 (tan solo tiene la posibilidad de ser 1/2 de una entre infinito, o sea, prácticamente nunca), y, siendo distinto a 1/2, en tal caso hay memoria en el proceso, una memoria llamada de largo plazo. ¿Qué es largo plazo en una cotización? Pues depende del escalado en el que la contemplemos. Quizá un par de días tick a tick sea ya una abundante serie de datos para poder hablar de largo plazo.
Si las cotizaciones tuviesen un índice de afinidad 1/2 tendrían una dimensión fractal de 1,5, porque la dimensión fractal de las curvas es 2 – H. Siendo H el índice de afinidad. En el ruido browniano fraccionario toma otros valores entre 0 y 1, pero ocurre que cuando H < 1/2 la dimensión fractal es mayor a 1,5 y la curva en cuestión está más cerca de ser superficie que línea. En las cotizaciones, si fuesen monofractales, significaría que tras una subida cabría esperar una bajada, funcionarían bien los sistemas de reversión a la media con una media rápida. Tendrían un carácter antipersistente, o sea, una memoria de largo plazo corta (así se llama). En cambio, si H > 1/2 la dimensión fractal es menor a 1,5 y la curva está más lejos de aproximarse a una superficie, digamos que la curva está bastante alisada, se halla más cerca a lo que es una curva no fractal. Si una cotización fuese monofractal, tras una subida cabría esperar más subida y tras una caída más caída. Tendría un carácter persistente y cualquier sistema tendencial, fuese el que fuese, funcionaría muy bien. La memoria de ese tipo es una memoria de largo plazo larga.
Así que H determina en los fractales (en los monofractales) si tienen memoria corta o larga (suprimo llamar memoria de largo plazo y solo empleo su calificación). Mandelbrot dio con los trabajos sobre hidrografía de Harold Edwin Hurst sobre el tamaño que debía tener una presa. A Hurst se le encargó hacer un estudio para construir una presa en el Nilo que debiera de durar por lo menos 100 años. Se dio cuenta que los cálculos que se hacían hasta el momento para esos menesteres no eran adecuados y creó un proceso estadístico con las anotaciones del caudal del Nilo, que existían día a día por varios milenios. De ese estudio, sin él saberlo, encontró un método para calcular el índice de afinidad de cualquier serie. Mandelbrot fue quien propuso que se llamase H en honor a Hurst. Hurst, además del caudal del Nilo estudió muchos más procesos de la Naturaleza llegando siempre a la misma conclusión, que no aparecía 1/2, como cabía esperar. Mandelbrot había estudiado los precios del mercado del algodón y vio que los procesos de ambos tenían resultados parejos. Desde entonces se tiene en las series (en los monofractales) una memoria larga o corta. Solamente en el caso en el que H = 1/2 no hay memoria y tan solo existe ruido y se da la propiedad de Márkov en todo lugar.
El movimiento browniano fraccionario tampoco modeliza las cotizaciones. Con el tiempo se ha pasado a considerar que son vuelos de Lévy (otro tipo de ruido o movimiento semejante al que hacen algunas rapaces buscando alimento, que otean con recorridos cortos una zona y de repente hacen un gran desplazamiento a otra zona, y así sucesivamente; en los tiburones también se observa ese movimiento), pero tampoco cuadran con ese tipo de movimiento, siempre es un paseo aleatorio cumpliendo siempre la propiedad de Markov, así que se cambió a vuelos de Lévy truncados (porque así quitaban la varianza infinita ya que las pobres aves podrían hacer un recorrido infinito y morir volando; evidentemente, también quitaban el cumplimiento estricto de la propiedad de Márkov), pero en los mercados emergentes se vio bien claro que tampoco cuadran estos vuelos truncados con lo que ocurre. Lo último es considerar que las cotizaciones son vuelos de Lévy truncados y normalizados. Todo para seguir justificando que sean paseos aleatorios y seguir manteniendo como sea la teoría de carteras de Markowitz, seguir diciendo que los mercados son eficientes, pero como no lo son se dice que lo son en su forma débil. En la oficialidad todo son enmiendas sobre enmiendas y suposiciones erróneas sobre más suposiciones erróneas. Hay que tirar a la basura ya de una vez los paseos aleatorios y considerar que las cotizaciones van a ir a parar a hacer máximos y mínimos en lugares más o menos preestablecidos por su propia estructura multifractal, lugares que por la propia evolución de una cotización son cambiantes, pero no por ello indeterminables. ¿Verdad que es innovador y un poco revolucionario lo que iré explicando en este blog?
Las cotizaciones son multifractales. Eso significa que no tienen un único H, sino que tienen todo el rango de H que va de 0 a 1, y lo más importante es que tal H cambia de tick en tick. Por ello, y porque existen dos efectos en las cotizaciones llamados el Efecto Noé y el Efecto José (Mandelbrot les puso esos nombres por su similitud con lo explicado en la Biblia), cualquier sistema basado en tendencias o antitendencias está condenado al fracaso. El Efecto José viene a decir que en las cotizaciones las turbulencias tienden a agruparse (agrupamiento de periodos de volatilidad alta y de las idas y venidas rápidas). El Efecto Noé es el que viene a explicar las grandes caídas, las jornadas negras, las crisis y los Cisnes Negros, tiene que ver con la varianza infinita (aunque trunquen para evitar infinitos) y las colas pesadas en la distribución de los rendimientos de las cotizaciones.
La dimensión fractal, que es 2 – H, es un exponente, de ahí que se diga que los fractales cumplen una ley potencial, cosa que es lo mismo que decir que son autoafines. Ahora ya sabemos que H, el índice de afinidad (autoafinidad en los fractales) es lo mismo que el exponente de Hurst en los monofractales; pero un multifractal es un conjunto muchas o infinitas veces monofractal, mas no como sería la unión de dos o más conjuntos monofractales, sino que los subconjuntos monofractales que hay dentro del multifractal están coordinados de algún modo. El coeficiente H que aparece en la dimensión fractal 2 – H, siendo esta un exponente hay que cambiarlo por una función, que también se llamará H porque es la función de Hölder. Significa que en cada lugar de un multifractal hay un H distinto a otro H de otro lugar. Consecuentemente, de nada sirve ver qué dimensión fractal tiene un trozo de cotización, porque otro trozo tendrá otra, al igual que un trozo del propio trozo tendrá otra dimensión fractal.
De un multifractal, cuyo H toma todos los valores entre 0 y 1 se pueden crear subconjuntos en el que cada subconjunto esté integrado por todos aquellos puntos en los que H tome el mismo valor. A tales subconjuntos se les llama conjuntos isoHölder, Y evidentemente los hay con memoria larga y con memoria corta, pero todos ellos están coordinados en crear un único conjunto, una única curva, una única cotización. Encontraremos modos de desglosar qué está ocurriendo dentro de cada multifractal llamado cotización y cómo lo que está ocurriendo se coordina para formar el futuro.
Y hasta aquí hoy. Espero que quede claro que las cotizaciones hay que estudiarlas como multifractales y desde esa óptica hallar cómo se van construyendo. Porque estas lo van haciendo no por paseos aleatorios puros. En las cotizaciones hay determinismo o, mejor dicho, no hay puro indeterminismo.
En todo lo que explico y explicaré no veréis ningún indicador. El trading fractal no tiene indicadores. Tan solo ciertos cálculos de timing, que no sé si llegaré a explicar aquí, dependen de diferencias importantes respecto de una media simple de los volúmenes diarios.
Hoy pongo gráficos de casas de automóviles alemanas para que puedan ir acostumbrándose a lo que en el futuro explicaré.
