Introducción a la borrosidad fractal en las cotizaciones

La borrosidad es una característica que tienen los conjuntos borrosos. ¿Son las cotizaciones borrosas? No. Las cotizaciones no son borrosas, pero sí que en su autosimilitud aparecen conjuntos borrosos y números borrosos y de ellos depende dónde pueden producirse máximos o mínimos.

Dicho lo anterior, procede dar explicaciones sobre conjuntos borrosos, cosa que intento hacer de un modo que sea comprensible por todos.

El concepto de conjunto tradicional lo tenemos todos y sabemos entender si un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto. Así, el conjunto de niños de la clase 3º C consta de todos lo niños que están matriculados para 3º en el colegio dado y que el centro ha decidido que reciban enseñanza en el aula C. Pedro es de la clase 3º B ¿Es Pedro un elemento del conjunto de niños de 3º C? La respuesta es un rotundo no. Ana y Jacinto son de la clase 3º C ¿Pertenecen Ana y Jacinto al conjunto de niños de la clase 3º C? Por supuesto que sí.

Sin pensarlo, cuando se habla de un conjunto tradicional, sabemos o podemos deducir qué elementos pertenecen a él y los que no pertenecen a él. Pertenecer a un conjunto tradicional no tiene término medio: un elemento pertenece al conjunto o no pertenece. 

Los conjuntos siempre fueron así hasta que ya matemáticamente no lo fueron, por ello, a los que siempre fueron así se les llama conjuntos tradicionales. Implícitamente puede uno imaginar una función de pertenencia al conjunto tradicional. Si un elemento pertenece al conjunto le damos valor 1 a tal función y si un elemento no pertenece al conjunto le damos valor 0 a la función. No hay más, o 0 o 1, o blanco o negro. Siempre el tercero estaba excluido como siempre se había hecho desde la lógica de Aristóteles.

¿Por qué no van a existir elementos que pertenezcan parcialmente a un conjunto? Nuestro lenguaje está repleto de referencias a conjuntos cuyos elementos tienen un grado de pertenencia a un conjunto distinto a 1 o a 0. Volviendo al conjunto de niños de la clase 3º C, podemos idear el conjunto de los niños más altos de esa clase. Evidentemente el más alto de todos tiene un grado de pertenencia de 1 y también es evidente que el más bajo de la clase tiene un grado de pertenencia de 0, o sea, que no pertenece a ese conjunto de niños más altos de la clase 3º C. Habrá niños en ese subconjunto (de niños más altos del conjunto de niños de la clase 3º C) que estarán en él con un grado de pertenencia distinto a 1 y distinto a 0. En algún lugar habrá que cortar si ponemos en el subconjunto a Miguel, que no es ni alto ni bajo. En este ejemplo, la decisión es subjetiva y depende del pensamiento de cada individuo cuántos elementos conforman el subconjunto y qué grado de pertenencia se le ha adjudicado a cada elemento.

Fue Lofti A. Zadeh quien en 1965 creó la teoría de subconjuntos difusos o borrosos. De ellos nace la lógica difusa, sin la cual la Inteligencia Artificial no existiría. En nuestro lenguaje empleamos constantemente expresiones que hacen referencia a conjuntos borrosos que los ordenadores nunca podrían interpretar y nosotros sí.

Formalmente se necesita un conjunto de elementos (como el conjunto de niños de 3º C) que sirve de referente y sobre ese conjunto se crea un subconjunto cuyos elementos tienen diversos grados de pertenencia a él. Así, por ejemplo, cuando nos dicen: “Te voy a enseñar las fotos más bonitas”, presuponemos de inmediato que hay un conjunto de fotos (es el referente) y que mentalmente ya ha catalogado esas fotos (quien las va a mostrar) según su gusto con un grado de pertenencia al subconjunto de fotos más bonitas. No sabemos cuántas nos mostrará ni por qué algunas les llama bonitas, pero ese subconjunto borroso existe.

Cualquier subconjunto es un conjunto, de ahí que se digan conjuntos borrosos o difusos.

Las cotizaciones las representamos en un plano (Tiempo  x   Precio ) y se llega a pensar por muchos que son funciones o pueden asimilarse a funciones. Pero hay una realidad subyacente: que precio es un tipo de magnitud y tiempo es otro tipo de magnitud. Y sí, entre ambas magnitudes se pueden crear funciones, como ocurre cuando decimos que la velocidad (V) es igual al espacio recorrido (e) dividido por el tiempo empleado (t), aunque sepamos que eso no es así porque jamás se consigue una velocidad uniforme. Sería V = e / t. Pero también sabemos que en muchas ocasiones no hay función ninguna. Por ejemplo, buscar una función entre manzanas y garbanzos. Podemos representar en el eje vertical el número de kilos diarios de manzanas que se venden en un mercado por kilo de garbanzos vendido en ese mercado cada día. Saldrá una gráfica muy bonita y sesuda, y estadísticamente se estudiará y se llegará a conclusiones. Cosas así ocurren constantemente en el mundo científico. Por ejemplo, se pueden quedar tan panchos y orgullosos mostrando un informe realizado sobre 300 pacientes con la enfermedad XXX que muestra que los que han comido habitualmente manzanas están peor que los que habitualmente han comido garbanzos y que, por tanto, las manzanas dañan la salud en un 23% respecto de quien hubiera comido garbanzos, y si después extrapolan esto a la población en general, la mentira será monumental (Internet y revistas científicas están llenos de mentiras así).

Fractalmente, en las cotizaciones se pueden encontrar autosimilitudes dentro del precio y también otras autosimilitudes dentro del tiempo. Estas autosimilitudes son generalmente homotecias de ciertas distancias en precio (para el precio) y en tiempo (para timing). Son homotecias de dilatación con probabilidad. Y esa probabilidad está encomendada a diversos conjuntos borrosos. 

Las homotecias que generalmente se dan en las cotizaciones son de dilatación, o sea, que una distancia se multiplica por un número (en realidad, en muchas ocasiones, por varios números de algún conjunto borroso) mayor que 1 y ya tenemos la homotecia. Una homotecia es una afinidad (aquello que se estudiaba en el plano afín en el que existían rotaciones, reflexiones, homotecias, ejes y puntos de reflexión, puntos de rotación, etc.) cuando podemos cambiarla de posición o dejarla en su sitio. Así que la geometría multifractal para el precio (para las afinidades nacidas de homotecias, reflexiones, etc.) o para el tiempo es bien sencilla.

Supongamos una distancia detectada en el precio (d) que sea candidata a proporcionar afinidades nacidas de homotecias de dilatación (o sea, que podamos trasladar o no trasladar las homotecias a ciertos lugares). Una única homotecia de dilatación de la distancia d podría ser multiplicarla por 3. El resultado sería 3d y ese resultado 3d lo podríamos trasladar a lugares concretos y en la parte más alta o más baja de 3d esperar un máximo o un mínimo (según proceda).

Ahora vamos a multiplicar esa distancia d por cada número de un conjunto borroso que producirá posibles homotecias (según qué ciertas distancias se emplea un tipo distinto de conjunto borroso). Los resultados de las multiplicaciones son posibles máximos o mínimos que la cotización puede realizar. Hemos multiplicado por números de un conjunto borroso, y esos números tienen un grado de pertenencia al conjunto borroso en cuestión. Ese grado de pertenencia al conjunto borroso es el que nos informa por cada número (elemento del conjunto borroso) la probabilidad de que la homotecia (cada número del conjunto borroso produce una homotecia) se dé. Así, si d lo multiplicamos por los números del conjunto borroso {(3, 0,8), (5, 0,3)} (que se lee: “el conjunto con el elemento número 3, con un grado de pertenencia al conjunto de 0,8, y con el elemento número 5 con un grado de pertenencia al conjunto de 0,3”) obtendremos la homotecia 3d, con una probabilidad de producir un máximo del 80% (0,8 hablando en tantos por uno) y la homotecia 5d, con una probabilidad de producir un máximo del 30% (también podrían ser mínimos si fuese lo que tocase realizar). Ambas homotecias pueden tener traslados a lugares precisos y mantendrían las probabilidades respectivas de realizarse máximos (o mínimos) en esos traslados.

Sabemos de los números que según sean han sido catalogados en diversos conjuntos. Así tenemos los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales, los números complejos y algunos más. Pero para la borrosidad en las cotizaciones nos interesa el conjunto de números reales.

Los números reales, como conjunto, puede tener subconjuntos borrosos. El conjunto de los números reales sería el referente, y por ejemplo un subconjunto borroso sería el que implícitamente empleamos cuando decimos en la charcutería: “ponme 200 gramos de jamón”. Jamás existirá una báscula que mida 200 gramos exactos de jamón, así que 199 gramos, 200 gramos y 201 gramos pertenecen seguramente con un grado de pertenencia de 1 al conjunto borroso de gramos pedidos de jamón. Seguramente también pensemos en un grado de pertenencia 1 a todo el rango de gramos entre 195 y 205. Conforme nos alejemos de esas cifras el grado de pertenencia al conjunto borroso de gramaje pedido comienza a decaer. El tendero nos dice: “Me pesa 210 gramos, me he pasado un poquito”, y nosotros le decimos: “No pasa nada”, se lo decimos porque 210 tiene un grado de pertenencia al conjunto borroso importante.

Los elementos de los conjuntos borrosos por los que multiplicamos una cierta distancia d (como el 3 y el 5 del ejemplo) son números borrosos y por tanto las homotecias del ejemplo 3d y 5d son números borrosos. Así que sus máximos o mínimos propuestos que se pueden producir con una probabilidad respectiva del 80% y del 30%, no se van a producir, si es que se producen, en un precio exacto, sino que lo harán en una zona de precios borrosa, una zona de precios que es el resultado de multiplicar un número exacto (la distancia d) por números borrosos (los elementos del conjunto borroso) que nos informan con su grado de pertenencia de cuánta probabilidad hay de realizar un máximo o un mínimo relativo.

Así, si por ejemplo la borrosidad de los números borrosos del conjunto borroso es de una franja del 5%, resultará que tendemos la homotecia 3d ±2,5% (±2,5% abarca casi un 5%) con una probabilidad de producirse del 80% como un máximo o como un mínimo y otra homotecia 5d ±2,5% con una probabilidad de producirse como un máximo o como un mínimo del 30%.

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La construcción multifractal de las cotizaciones se va realizando principalmente así, con ciertas distancias que tienen homotecias debidas a uno o a otro conjunto borroso de los varios conjuntos borrosos que participan en la creación de la multifractalidad. Ya iré explicando qué distancias hay que buscar y qué conjunto borroso proporciona homotecias y sus traslados. También existen objetivos de precio nacidos de la autosimilidud con otros tipos de afinidades, como reflexiones a diversas líneas o las que bajo ciertas circunstancias son las pautas encontradas por el Análisis Técnico, pero un poco más escondidas, teniendo que rebuscar para hallarlas.

 Os dejo con un gráfico de Corporación Acciona Energías Renovables con barras de 1 minuto.

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